部分空間、行ベクトル、列ベクトル

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第１章第４節。

部分空間の説明。

　ベクトル空間のある部分集合が、そのベクトル空間の部分群になっていて、しかも体の任意の要素とその部分集合の任意の要素との積がふたたびその集合に属すとき、その部分集合を部分空間という。a₁, a₂, …, a_s がベクトル空間V の要素のとき、a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_sa_s の形をした要素全体の集合は明らかに V の部分空間である。また次元の定義から部分空間の次元は全空間の次元をこえることはない。
V を有限次元n のベクトル空間とし、W が V の部分空間で同じ次元n であるとする。すると W＝V である。というのは、その部分空間W は n個の線形独立なベクトルを含み、これらは V の一組の生成系をなすからである。

集合から部分集合がつくれるように、ベクトル空間でも部分空間がつくれる。部分集合と違うところは、部分空間ではそのベクトル空間の部分群となっていて、それがベクトル空間の定義を満たすという条件がつく。ベクトル空間の定義は以下。

V を加群とし、その要素を a, b, … で表わす。また K を体とし、その要素を a, b, … で表わす。このとき K の任意の要素 a と V の任意の要素 a に対し V の要素 aa が定義されていて、次の条件が満たされているならば、V を K 上の左ベクトル空間という。

1. 　a(a＋b)＝aa＋ab
2. 　(a＋b)a＝aa＋ba
3. 　a(ba)＝(ab)a
4. 　1a＝a

部分空間の説明の次には、行ベクトル、列ベクトルの説明が続く。

　体K の要素の s個の組 (a₁, a₂, …, a_s) を行ベクトルという。このような s個の組全体の集合は次の定義のもとで１つのベクトル空間になる。
　α）(a₁, a₂, …, a_s)＝(b₁, b₂, …, b_s) であるとは a_i＝b_i, i＝1, 2, …, s がなりたつこと。
　β）(a₁, a₂, …, a_s)＋(b₁, b₂, …, b_s)＝(a₁＋b₁, a₂＋ b₂, …, a_s＋b_s)
　γ）K の要素b に対して b(a₁, a₂, …, a_s)＝(ba₁, ba₂, …, ba_s)
　また、s個の組を次のように縦に書いて、列ベクトルという。
（略）

今後、列ベクトルをはじめ、行列や行列式も出てくるが、ブログでは書けない（書く術を知らない）ので、行列などは書かないことが多くなると思う。必要があれば、図を貼り付けるなどするかもしれないが、基本書かない方向でいく。