【定理１】未知数の個数が方程式の個数をこえるとき、同次線形連立方程式は非自明な解をもつ

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第１章第３節は、同次線形連立方程式についてである。同次線形連立方程式の説明に次いで、定理１として次の定理とその証明が載っていた。

定理１
未知数の個数n が方程式の個数m をこえるとき、同次線形連立方程式は非自明な解をもつ。

連立方程式を習ったときだと思うが、未知数が２つ（たとえばx, y）あるのに、方程式が１つだったら、x, y は求められない（不定となる）ということを聞いた。そのときに証明があったのかどうかは覚えていない。ただ、そうなんだ、というくらいにしか頭に残っていない。

ここで述べられている定理は、その（同次線形連立方程式での）一般化の証明である。

a₁₁x₁＋a₁₂x₂＋…＋a_1nx_n＝0
a₂₁x₁＋a₂₂x₂＋…＋a_2nx_n＝0
　…………
a_m1x₁＋a_m2x₂＋…＋a_mnx_n＝0

その証明をそのまま書くとただの丸写しになるので、概略だけを残しておこう。

証明には数学的帰納法が用いられていた。

数学的帰納法は簡単に書くと、次のような証明の方法である。自然数n について、証明したい命題を P(n) として、

1. P(1) が正しいことを証明する
2. P(k) が正しいと仮定すれば、P(k+1) も正しくなることを証明する

というやり方である。よく「ドミノ倒し」のような証明方法といわれている。

定理１の証明では、まず「n＞0個の未知数に対して方程式が１つもないとき」に非自明な解が存在することを証明し、次に k＜m として「k個より多い未知数をもち、k個の式からなる任意の同次線形連立方程式が非自明な解をもつ」と仮定して進めていた。

式a_i1x₁＋a_i2x₂＋…＋a_inx_n を L_i, i＝1, 2, …, m とすると、与えられた連立方程式は以下のように書ける。

L₁＝L₂＝…＝L_m＝0

もしすべての i, j に対して a_ij＝0 であれば、x₁, x₂, …, x_n の任意の値が解になる（非自明な解が存在する）。

a_ij が全部は 0 でないときは、a₁₁≠0 と仮定できる（方程式の順序や未知数の番号を変えたとしても、非自明な解が存在するか否かに影響しないから）。

与えられた連立方程式に非自明な解が存在するための条件は、次の連立方程式が非自明な解をもつことである。

L₁＝0
L₂－a₂₁a₁₁^-1L₁＝0
　…………
L_m－a_m1a₁₁^-1L₁＝0

ちょっと添字が多くて見にくいかもしれないが、たとえば上の２番目の方程式は、L₁＝0 の両辺に a₂₁/a₁₁ を掛けたものを、L₂＝0 から引いたものである。連立方程式を解くときに式に①、②と番号をつけて、「①－②✕2 より」としているようなもので、x₁ の係数をそろえるために a₂₁/a₁₁ を掛けている（ここでは a₁₁≠0 である）。

この2番目以下の式を m－1個の同次線形連立方程式とみれば、帰納法の仮定より、非自明な解が存在する（ここでは、未知数 n個で、m－1個（m－1＜m）の式だから）。