【定理2】（ベクトル空間の次元）

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第１章第４節「ベクトルの従属性、独立性」の続き。定理2 と、その証明。

定理2
V が一組の生成系 a₁, a₂, …, a_m をもつとき、この生成系の中に含まれる線形独立なベクトルの最大個数が V の次元である。

丁寧に読まなければわからなかったので、証明を引用し、それについての自分なりの解説的なコメントをつけてみる。証明は次からはじまる。

a_i がすべて 0 ならば、V は零ベクトルだけからなる。1・0＝0 であるから、零ベクトルは線形従属である。よって V の次元も、a_i の中の線形独立な最大個数もともに 0 である。

線形従属であるとは、x₁a₁＋x₂a₂＋…＋x_na_n＝0 で、x₁, x₂, …, x_n のうちの少なくとも1つは 0 でないような K の要素 x₁, x₂, …, x_n が存在することをいう。零ベクトルに関しては 1・0＝0 が成り立ち、0 でない K の要素（ここでは 1）が存在している。したがって零ベクトルは線形従属であり、V の次元も、a_i の中の線形独立な最大個数もともに 0 である。

これに対して生成系 a₁, a₂, …, a_m の中の線形独立なベクトルの最大個数が r であるとする。このとき番号をつけかえて、a₁, a₂, …, a_r が線形独立であるようにできる。r＜m のときは r は線形独立な a_i の最大個数であるから、r＋1個のベクトル a₁, a₂, …, a_r, a_i (r＜i≦m) は線形従属であり、したがって次の関係がある。

a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_ra_r＋ba_i＝0

ここで、係数の中には 0 でないものが存在する。もし b＝0 であれば、a₁, a₂, …, a_r が線形従属であることになってしまう。そこで b≠0 であり

a_i＝－b^-1(a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_ra_r)

a₁, a₂, …, a_r が線形独立であるので、a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_ra_r＝0 の係数は 0 である。a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_ra_r＝0 の係数が 0 であり、a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_ra_r＋ba_i＝0 の係数の中には 0 でないものが存在するので、b≠0 となる。a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_ra_r＋ba_i＝0 を式変形して a_i＝－b^-1(a₁a₁＋a₂a₂＋…＋a_ra_r) を得る。

よって、V の要素を生成系 a₁, a₂, …, a_m の線形和で表した式は、各 a_i をこの式でおきかえることによって a₁, a₂, …, a_r の線形和でおきかえることができる。そこで、a₁, a₂, …, a_r だけで一組の生成系となることがわかる。

V の要素の列 a₁, a₂, …, a_m が V の生成系であるとは、V の任意の要素 a が K の適当な要素 a_i, i＝1, 2, …, m を用いて a₁, a₂, …, a_m の線型和 a＝Σ [i=1..m] a_ia_i とできることをいう。ここでは、V の任意の要素が、a₁, a₂, …, a_r の線形和で表すことができるので、a₁, a₂, …, a_r だけで V の生成系となれる。

いま b₁, b₂, …, b_t (t＞r) を V の任意のベクトルとする。すると

b_j＝Σ[i=1..r]a_ija_i

のような a_ij が存在する。ここで、ベクトル b₁, b₂, …, b_t が線形従属であること、すなわち

x₁b₁＋x₂b₂＋…＋x_tb_t＝0

となる非自明な x_i が K の中に存在することを証明すればよい。

V の任意のベクトルを b₁, b₂, …, b_t として、生成系である a₁, a₂, …, a_r の線形和で表したものが b_j＝Σ[i=1..r]a_ija_i である。a₁, a₂, …, a_r が V の生成系であることから、V の任意の要素を a₁, a₂, …, a_r の線形和で表すことができる。

いま証明したいことは、「V が一組の生成系 a₁, a₂, …, a_m をもつとき、この生成系の中に含まれる線形独立なベクトルの最大個数が V の次元である」ことである。生成系 a₁, a₂, …, a_m をもつとき、この生成系の中に含まれる線形独立なベクトルの最大個数を r としているので、V の次元が r であるといいたい。a₁, a₂, …, a_r が生成系であることが判明しているので、あとはこれが最大個数かどうかを調べる必要がある。そのため、t＞r として任意のベクトルを線型和で表し、それが線型従属であることがわかれば、a₁, a₂, …, a_r、つまり r 個のベクトルが線型独立で最大個数となる。ベクトル b₁, b₂, …, b_t が線型従属であることを証明するために、x₁b₁＋x₂b₂＋…＋x_tb_t＝0 となる非自明な x_i が K の中に存在することを証明する。

それには、この式で b_j を Σ[i=1..r]a_ija_i でおきかえると a_i の線形和が得られ、a_i の係数は Σ[j=1..t]x_ja_ij となるので

Σ[j=1..t]x_ja_ij＝0,　　i＝1, 2, …, r

となる非自明な x_j が存在すればよい。ところが t＞r であるから、定理1 によってそのような x_j の存在することが保証される。

x₁b₁＋x₂b₂＋…＋x_tb_t＝0 の式の b_j を Σ[i=1..r]a_ija_i でおきかえると

（左辺）
＝x₁b₁＋x₂b₂＋…＋x_tb_t
＝x₁(Σ[i=1..r]a_i1a_i)＋x₂(Σ[i=1..r]a_i2a_i)＋…＋x_t(Σ[i=1..r]a_ita_i)
＝x₁(a₁₁a₁＋a₂₁a₂＋…＋a_r1a_r)＋x₂(a₁₂a₁＋a₂₂a₂＋…＋a_r2a_r)＋…
　＋x_t(a_1ta₁＋a_2ta₂＋…＋a_rta_r)

となり、a_i の係数は Σ[j=1..t]x_ja_ij となる。そこで、

Σ[j=1..t]x_ja_ij＝0,　　i＝1, 2, …, r

となる非自明な x_j が存在すればよく、t＞r より x_j の存在することが保証される。

定理1 とは「未知数の個数n が方程式の個数m をこえるとき、同次線形連立方程式は非自明な解をもつ」というもので、ここでは、未知数の個数が t 、方程式の個数が r であり、t＞r であるため非自明な解が存在する。非自明な解が存在するということは、x₁, x₂, …, x_t のうちの１つは 0 でない要素が存在する。つまり、ベクトルb₁, b₂, …, b_t が線型従属であることが示され、生成系 a₁, a₂, …, a_r は最大個数である r個のベクトルをもつ線型独立であることが示される。

以上のようにして r個より多い個数のベクトルは線形従属であるが、r個のベクトル a₁, a₂, …, a_r は線形独立であるから、V の次元は r である。