「連続的な世界」と「離散的な世界」

『数学ガール』を読んでいると、次のようなことを著者の結城浩さんが言っているように思えます。

分割数の一般項Pnを求めよ。
求め方は、この本の中に書いてある。

もちろん私の勝手な想像かもしれませんが。

分割数の一般項Pnは、「とんでもない式」ですが、解き方の筋道は『数学ガール』の中に書かれているように思えてなりません。

『数学ガール』の主人公の「僕」は、分割数の一般項Pnを求める方法として、次のような順序で進めようとしました。

1. 分割数の数列に対応する母関数をP(x)とする。
2. 母関数P(x)の《xについて閉じた式》を作ろうとする。
3. 《xについて閉じた式》は作れなかったが、《無限和の無限積》の式を得る。
4. 《無限和の無限積》の式から、《分数の無限積》の式を得る。
5. 母関数P(x)の《分数の無限積》の式を冪級数展開したときのxⁿの係数を見つけようとする。

主人公の「僕」は、このときは、分割数の一般項Pnを求めることができませんでした。

かといって、私ができるとは思いません(^-^;)

なので、視点を変えてみたいと思います。

まだ、着想段階で厳密には考えていないのですが、「連続的な世界」と「離散的な世界」との対応から解けないか、というものです。



分割数の世界は「離散的な世界」です。実数のような「連続的な世界」ではなく、整数（自然数）という「離散的な世界」。

今、主人公の「僕」は、「冪級数展開」という言葉を使っているので、「離散的な世界」にいると思われます。その「離散的な世界」から、「連続的な世界」への対応を考えてみたいと思ったのです。

私は、分割数の組み合わせを考えているときに以下のような図を描いてみました。

図はP9の場合の組み合わせを考えていたものです。黒い部分の縦は分割後の自然数、横は分割した個数として組み合わせの図を考え、斜めの線で線対称となるように配置してみたものです。

反比例に似ているな。

こう思いました。

一方で、主人公「僕」が求めた分割数Pnの母関数P(x)の《分数の無限積》の形は以下です。

P(x) = {1/(1-x¹)}・{1/(1-x²)}・{1/(1-x³)}……

分数になっているところが、反比例に似ている、と思ったのです。

今後、この着想で考えてみたいと思います。が、ブログでの表記では限界があるかな…。