分割数試行錯誤

前回記事で、Q5 = 16 の内容から、P5 = 7 の内容を考えてみました。

Q5 = 4C0 + 4C1 + 4C2 + 4C3 + 4C4
= 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

P5 = 4C0 + 4C1/2 + 4C2/3 + 4C3/4 + 4C4
= 1 + 2 + 2 + 1 + 1 = 7

そこから、一般化として以下を仮定してみましたが、失敗。

Pn
= n-1C0 + n-1C1/2 + n-1C2/3 + n-1C3/4 + … + n-1Cn/n + n-1Cn-1

上記の式では、P4 = 5 が成り立ちませんでした。

P4 = 3C0 + 3C1/2 + 3C2/3 + 3C3 = 1 + 3/2 + 3/3 +1 = 9/2

今回は、失敗の原因を探ってみたいと思います。

分割数と分断数

ここ数回、自分で勝手に作った分断数について考えてきました。これから話を戻して、「分割数」について考えてみたいと思います。

分割数Pnの一般項は「とんでもない式」（『数学ガール』より）で、私が考えたところでこのような一般化はできないと思いますが、まあ、考えることは自由ということで試行錯誤してみたいと思います。

まずは、分割数と分断数の関係から考えられないか、を見ていきます。

（「まずは」と書きましたが、次があるかどうかは未定です。）

分割数

先日読んだ『数学ガール　ゲーデルの不完全性定理』が面白かったので、結城浩さんの他の「数学ガール」シリーズを読み始めました。

「数学ガール」シリーズは、2011年6月現在、4冊出版されているようです。

1. 『数学ガール』（2007年）
2. 『数学ガール　フェルマーの最終定理』（2008年）
3. 『数学ガール　ゲーデルの不完全性定理』（2009年）
4. 『数学ガール　乱択アルゴリズム』（2011年）

今回読み始めたのは、第1作目の『数学ガール』

そこで、面白そうな問題が出ていたので考えてみたいと思います。

額面が、1円、2円、3円、4円、……になっているコインがあるとする。合計n円を支払うためのコインの組み合わせが何通りあるのかを考えよう。この組み合わせの個数をPnとする（各支払い方法をnの分割と呼び、分割の個数すなわちPnを、nの分割数と呼ぶ）。

たとえば、3円を支払う方法には「3円玉が1枚」「2円玉が1枚と1円玉が1枚」「1円玉が3枚」という3通りがあるため、P3=3である。

問題10-1
P9を求めよ。

問題10-2
P15＜1000は成り立つか。

実際の解法（考え方）は、このブログで数式が表現できない（できるとは思いますが、めんどくさそう…）ため、実際に本でお読みください。特に問題10-2については、私にはまだ上手く説明する力量がありませんし…。