分割数と分断数

ここ数回、自分で勝手に作った分断数について考えてきました。これから話を戻して、「分割数」について考えてみたいと思います。

分割数Pnの一般項は「とんでもない式」（『数学ガール』より）で、私が考えたところでこのような一般化はできないと思いますが、まあ、考えることは自由ということで試行錯誤してみたいと思います。

まずは、分割数と分断数の関係から考えられないか、を見ていきます。

（「まずは」と書きましたが、次があるかどうかは未定です。）



とりあえず、自然数 n の分割数を Pn、自然数 n の分断数を Qn とします。

前回記事で分断数 Qn については、n が n>0 の自然数のとき、2^n-1 ということを求めたので、ここでも n は n>0 の自然数として考えます。

『数学ガール』でP9の値までは載っていますので、PnとQnについて、nが9までの値を比べてみます。

う～ん、WEB上での表の書き方がわからない…。

とりあえず、Qn と Pn の差を考えます。Qn と Pn の差は、分断数 Qn は順番が異なれば異なる分断であるのに対して、分割数 Pn は順番が異なるものは同じ分割であるため、Qn と Pn の差は、ダブりの個数となります。

たとえば、n=5 のとき Q5 は以下の 16 通りとなって、（★）印をつけたものが P5 を考えたときにダブって数えているということです。（★）印は 9 個あります。考えやすいように、行を空けてみました。

5=5

5=4+1
5=1+4（★）

5=3+2
5=2+3（★）

5=3+1+1
5=1+3+1（★）
5=1+1+3（★）

5=2+2+1
5=2+1+2（★）
5=1+2+2（★）

5=2+1+1+1
5=1+2+1+1（★）
5=1+1+2+1（★）
5=1+1+1+2（★）

5=1+1+1+1+1

この差を一般化できないかを考えてみます。

n=5 では、2つの自然数で分断した場合は4通りありますが、2つの自然数で分割した場合は2通りです。3つの自然数で分断した場合は6通りですが、分割は2通り。4つの自然数ならば分断は4通りで、分割は1通り。1での分断・分割、5での分断・分割はそれぞれ1通りで、分断・分割に変わりはありません。

そこで、

P5 = 4C0 + 4C1/2 + 4C2/3 + 4C3/4 + 4C4

と考えてみます。

一般化して、

Pn
= n-1C0 + n-1C1/2 + n-1C2/3 + n-1C3/4 + … + n-1Cn/n + n-1Cn-1

と仮定してみます。

しかし、これは合っていないことがすぐにわかります。n=4 を考えたとき、

P4 = 3C0 + 3C1/2 + 3C2/3 + 3C3 = 1 + 3/2 + 3/3 +1 = 9/2

となるからです。

今日はここまで…。