2010/12/14

3の倍数かどうか

最近、数学(?)のことを考えることが多くなりました。

もともと数学は嫌いな方ではなく、特に学校で習うことはパズルのような印象があります。

「簡単だ」という意味ではなく、「解き方がわかれば解ける」といった印象で、例えば文章題などで解き方を見つけることは好きでした。

逆に、解き方を見つけた後の計算は嫌いです(^-^;)

そして、数の不思議というか、一見何の関係もなさそうなのに隠れた関係がある、というような事柄は面白いと思います。

 

例えば、

「ある数字の各桁の数の合計が3の倍数ならば、その数字は3の倍数である」

というものがあります。

ある数字が3の倍数かどうかを判定するためによく使うものです。

例えば、「35675241」は3の倍数か?を調べるときに、各桁の数字を合計して、「3+5+6+7+5+2+4+1=33」。「33」は3の倍数なので、「35675241」も3の倍数だ、というように使います。

 

では、なぜ各桁の数字を合計することで3の倍数かどうかわかるのでしょう?

こんなことが私の知りたいことで、面白いと思うことです。

 

方法(証明)はいくつかあるかと思いますが、私の知っている証明は以下です。

 

取り合えず、3桁の数字で考えてみます。

(別に何桁でも方法自体は変わりません。)

ある3桁の数字を「100a+10b+c」とします。100の位の数字がa、10の位の数字がb、1の位の数字がcの3桁の数字です。

これをちょっと工夫すると、

=100a+10b+c

=99a+a+9b+b+c     ←100aを99a+a、10bを9b+bに置き換え

=99a+9b+a+b+c     ←足し算の順番を並び替え

=9(11a+b)+a+b+c

となります。

ここで、9(11a+b)は3の倍数です(9の倍数でもあります)。

残りのa+b+cはいわば「余り」。

このa+b+cが3の倍数ならば、3が取り出せて、割り切れるので、

a+b+cが3の倍数ならば、100a+10b+cも3の倍数であるといえます。

また、ここから考えると、a+b+cが9の倍数ならば、100a+10b+cは9の倍数であるともいえます。

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