3次方程式の解の公式の導出

3次方程式の解の公式（カルダノの公式）の導出についての覚え書き。（Webでの数式表記を詳しく調べていないので、分数やルートなどの表記部分がわかりにくくなっています。）

3次方程式は一般的に以下のように表される。

ax³ + bx² + cx + d = 0 （a ≠ 0）

変数変換
x = y - b / 3a を代入して、

a(y - b / 3a)³ + b(y - b / 3a)² + c(y - b / 3a) + d = 0

式を整理すると、

y³ - ((b² - 3ac) / 3a²)x + (2b³ - 9abc + 27a²d) / 27a³ = 0

となる。ここで、

p = - (b² - 3ac) / 3a²　　・・・①
q = (2b³ - 9abc + 27a²d) / 27a³　　・・・②

とすると、以下のyに関する3次方程式が得られる。

y³ + py + q = 0　　・・・③

• 変換後の3次方程式の左辺y³ + py + qには、2次の項がない（y²の係数が0）。3次方程式をより簡単な形に変換し、変換後の3次方程式の解を導くことで、変換前の3次方程式の解も導くことができる。
• この変換について、「立体完成」や「チルンハウス変換」「フェラーリの方法」などと呼ばれている。それぞれの変換名の詳細は調べていない。

y = u + vの導入
y = u + vとし、式③に代入する。

(u + v)³ + p(u + v) + q = 0

整理すると、以下になる。

(u³ + v³ + q) + (u + v) (3uv + p) = 0　　・・・④

ここで、以下の連立方程式、

u³ + v³ + q = 0　　・・・⑤
3uv + p = 0　　・・・⑥

を満たすu、vがあれば、y = u + vより、yを求めることができる。

• y = u + vの導入は、唐突な感がある。どのような意図でこのような変換をおこなったのかについては未確認。自分では思いつきそうにない。
• 方程式④から、連立方程式（⑤⑥）を立てることについても思いつきそうにない。
• 連立方程式の表記としては括弧（｛）があったほうがいいが、勉強不足。

連立方程式を解く

u³ + v³ + q = 0　　・・・⑤
3uv + p = 0　　・・・⑥

⑥より、

u= - p/3v

⑤に代入して、

(- p/3v)³ + v³ + q = 0

これを整理すると、

v⁶ + qv³ - (p/3)³ = 0

ここで、V = v³とすると、

V² + qV - (p/3)³ = 0

と、Vに関する2次方程式となる。
2次方程式の解の公式より、

V = - q ± √(q² + 4(p/3)³) = -(q / 2)±√((q/2)² + (p/3)³)
∴ v³ = -(q/2)±√((q/2)² + (p/3)³)

同様に、u³ = -(q/2)±√((q/2)² + (p/3)³)となる。u³とv³は対称であり、また、式⑤よりu³ + v³ = - qであるため、u³とv³の平方根の前にある±の符号は、片方が＋（プラス）であれば、もう片方は－（マイナス）である。よって、

u³ = -(q/2) + √((q/2)² + (p/3)³)
v³ = -(q/2) - √((q/2)² + (p/3)³)

よって、

u = ³√{-(q/2) + √((q/2)² + (p/3)³)}
v = ³√{-(q/2) - √((q/2)² + (p/3)³)}

y = u + vより、

y = ³√{-(q/2) + √((q/2)² + (p/3)³)} + ³√{-(q/2) - √((q/2)² + (p/3)³)}

• u³から三乗根をとるとき、3つの解が出てくる。三乗すると1となる3つ数を、1, ω, ω²)とすると、uの値は上記の他に、ωを掛けたものと、ω²を掛けたものの2つが存在する。
• WEBでの三乗根の表記のしかたは勉強不足。
• ここに挙げた公式、
  

  y = ³√{-(q/2) + √((q/2)² + (p/3)³)} + ³√{-(q/2) - √((q/2)² + (p/3)³)}

  は、式③のかたちの3次方程式についての解の公式であり、3次方程式の一般形についての解の公式ではない。しかし、変数変換で使ったx = y - b/3aや、式①②を使って一般形の解の公式を導くことができる。