2010/12/14

素数について

自然数の中で、1と自分自身以外の約数を持たないものを「素数」といいます。

例えば、12と13で考えると、12の約数は、1、2、3、4、6、12の6つで、1と12以外にも約数を持つので素数ではありません。13の方は、約数は1、13の2つのみで、13は素数です。

 

全ての自然数は素数の積で表現することができます。

2以上の自然数で20までを表現すると、

2(素数)

3(素数)

4=2×2

5(素数)

6=2×3

7(素数)

8=2×2×2

9=3×3

10=2×5

11(素数)

12=2×2×3

13(素数)

14=2×7

15=3×5

16=2×2×2×2

17(素数)

18=2×3×3

19(素数)

20=2×2×5

となります。

このような表記にする方法(?)を「素因数分解」と呼びます。

 

さて、なぜいきなり素数のことを書き始めたかというと、例の5つのビリヤード玉の問題からのためです。

5つのビリヤード玉の問題では、「数を足し合わせて1から21までの数をつくる」ということがありました。

「素因数分解」では数をかけ合せて自然数を表現しているので、足し合わせて表現する方法もないか、と考えたのです。

 

5つのビリヤード玉の問題では、自然数を次のように考えています。

1(分けられない)

2(分けられない)

3=1+2

4=1+3

5=1+4, 2+3

6=1+5, 2+4

7=1+6, 2+5, 3+4

8=1+7, 2+6, 3+5

9=1+8, 2+7, 3+6, 4+5

10=1+9, 2+8, 3+7, 4+6

11=1+10, 2+9, 3+8, 4+7, 5+6

12=1+11, 2+10, 3+9, 4+8, 5+7

上記に挙げたのは2つの異なる自然数に分けたやり方です。

どうやら、自然数nについて、奇数のときは(n-1)/2通り、偶数のときはn/2-1通りあるようです。

 

では、3つの異なる自然数に分けるやり方ではどうでしょうか?

1~5(わけられない)

6=1+2+3

7=1+2+4

8=1+2+5, 1+3+4

9=1+2+6, 1+3+5, 2+3+4

10=1+2+7, 1+3+6, 1+4+5, 2+3+5

11=1+2+8, 1+3+7, 1+4+6, 2+3+6, 2+4+5

12=1+2+9, 1+3+8, 1+4+7, 1+5+6, 2+3+7, 2+4+6

13=1+2+10, 1+3+9, 1+4+8, 1+5+7, 2+3+8, 2+4+7, 2+5+6, 3+4+5

となります。

規則性はありそうですが、一般化して何通りかは確認しておりません(^-^;)

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