分割数試行錯誤

前回記事で、Q5 = 16 の内容から、P5 = 7 の内容を考えてみました。

Q5 = 4C0 + 4C1 + 4C2 + 4C3 + 4C4
= 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

P5 = 4C0 + 4C1/2 + 4C2/3 + 4C3/4 + 4C4
= 1 + 2 + 2 + 1 + 1 = 7

そこから、一般化として以下を仮定してみましたが、失敗。

Pn
= n-1C0 + n-1C1/2 + n-1C2/3 + n-1C3/4 + … + n-1Cn/n + n-1Cn-1

上記の式では、P4 = 5 が成り立ちませんでした。

P4 = 3C0 + 3C1/2 + 3C2/3 + 3C3 = 1 + 3/2 + 3/3 +1 = 9/2

今回は、失敗の原因を探ってみたいと思います。



まずは、Q4 を確認してみます。前回記事と同じように、P4 を考えたときにダブっているものに（★）印をつけました。

4=4

4=3+1
4=1+3（★）
4=2+2

4=2+1+1
4=1+2+1（★）
4=1+1+2（★）

4=1+1+1+1

4を2つの数に分断したときは3通り（3C2）であるのに対し、4を2つの数に分割したときは2通り（3C2/2ではない）です。

その理由は4=2+2の存在。

2+2は順番を変えても2+2ですので、単純に3C2/2を考えただけではだめだということです。

このことは、偶数の自然数nを2つの自然数に分割したときに表れます。6=3+3、8=4+4、…。

また、3つに分割する場合も表れます。6=2+2+2、9=3+3+3、…。

これをどう捉えるか。

ためしに、Q6を見てみます。ちなみに、Q6=32、P6=11です。

6=6

6=5+1
6=1+5（★）
6=4+2
6=2+4（★）
6=3+3

6=4+1+1
6=1+4+1（★）
6=1+1+4（★）
6=3+2+1
6=3+1+2（★）
6=2+3+1（★）
6=2+1+3（★）
6=1+3+2（★）
6=1+2+3（★）
6=2+2+2

6=3+1+1+1
6=1+3+1+1（★）
6=1+1+3+1（★）
6=1+1+1+3（★）
6=2+2+1+1
6=2+1+2+1（★）
6=2+1+1+2（★）
6=1+2+2+1（★）
6=1+2+1+2（★）
6=1+1+2+2（★）

6=2+1+1+1+1
6=1+2+1+1+1（★）
6=1+1+2+1+1（★）
6=1+1+1+2+1（★）
6=1+1+1+1+2（★）

6=1+1+1+1+1+1

Q6 =1+5+10+10+5+1 =32 ですが、同じようにP6を表記すると、P6 =1+3+3+2+1+1 =11となります。

やはり、一概には言えないですね…。