まだよくわからない

ご存知の方も多いかもしれませんが、クルト・ゲーデルが「不完全性定理」を証明した論文は「『プリンキピア・マテマティカ』やその関連体系での形式的に決定不可能な命題についてⅠ」というタイトルです。「Ⅰ」とついていますが、「Ⅱ」など、続編はありません。

「不完全性定理」という言葉を耳にしたのは大学生の頃で、その頃からずっとこの証明について理解しようとしているのですが、未だにわかったようなわからないような、という印象です。

学生の頃、言語学を学び始め、そこからちょっと手を伸ばしてヴィトゲンシュタインの「言語哲学」に興味を持ち、そこからゲーデルの「不完全性定理」を知りました。

流れとしては、あまりいい流れではありません。

何しろ、現代数学のことは知らないのですから…。

まあ、きちんと勉強はしていませんが、高校生の頃から数学は嫌いではなかったので、理解することはできるかもということで、ゲーデルの不完全性定理の理解に向かいました。

ですが、まだ「理解できた」とは、自信を持って言えない状況です。



不完全性定理とは何か？

「不完全性定理」には、「第一不完全性定理」と「第二不完全性定理」があります。

Wikipedeia「不完全性定理」から引用すると、

第一不完全性定理

自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。

第二不完全性定理

自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。

「自然数論を含む帰納的に記述できる公理系」？「ω無矛盾」？「無矛盾性」？？？

「自然数論」「公理系」「無矛盾性」などの数学概念のことから始めなければなりません。

また、原題にある「決定不可能」も然り。

そして、ゲーデルはこの定理を「証明」しました。ということは、その証明方法も知りたい。

更には、どういった背景でこの証明に取り組んだのか。数学史もおもしろい。

少しずつ理解を深めてきてはいるつもりですが、まだまだ捉えきれていません。


証明のなかで現れる「自己言及性」。

これが、ゲーデルの不完全性定理の理解だけでなく、その他、私の興味をそそるものの大きな共通点となっている気もします。