2010/12/10

9の倍数になるのはなぜ?

@yousuke_takaoka さんからの問題(もとはこちら

えっと。好きな数を三つ。例えば3,4,5。これをそれぞれ3倍します。9,12,15。このなかの二桁の数を一桁にします。9,1,2,1,5。冒頭と同じようにそれぞれ3倍します。27,3,6,3,15。またこれを一桁にします。2,7,3,6,3,1,5。この七つの数字のうち一個隠します。仮に最初の2を隠します。のこりの六つの数字を足します。7+3+6+3+1+5=25。出た答えの25より大きい9の倍数で最も小さな数を んと この場合はたぶん27です。この27から先ほどの六つの数字を足した数25を引くと2です。隠した数字を観なくても当てることができるという数学でした。

2以外を隠した場合もやってみます。真ん中の6を隠します。 2+7+3+3+1+5=21。 21より大きい9の倍数で最も小さな数は27です。 27から21を引くと6なのでこれも隠れた数を当てることができます。

これが、どうしてこうなるのか?というものです。

 

整理しながら、順番に書いてみましょう。

例を用いて書くと、

{3、4、5} 

  ↓ それぞれを3倍する

{9、12、15}

  ↓ 2桁の数を1桁ずつにわける

{9、1、2、1、5}

  ↓ それぞれを3倍する

{27、3、6、3、15}

  ↓ 2桁の数を1桁ずつにわける

{2、7、3、6、3、1、5} 

 

ここで出てきた数字をすべて足すと9の倍数となる、というのが問題の内容です。

2+7+3+6+3+1+5=27(=9×3)

 

複雑になるので、1つの数字で考えてみましょう。

 

ある数字を x とします。

(xは1~9の自然数とします。実は自然数ならなんでもいいのですが、3倍したとき3桁以上になるとごちゃごちゃするので、、、)

まずは3倍するので、3x となります。

で、2桁だったら1桁ずつの数字に分けます。

わからないので、適当に 「 3x ⇒ p と q 」に分けましょう。

つまり 3x=10p+q です。

 

そして今度は、p、q をさらに3倍します。

すると、3p、3q が出てきます。

これもどんな数字になるかわかりませんので、適当に「 3p=10a+b 」「3q=10c+d 」とします。

 

では、a+b+c+d が9の倍数になるかどうか、ですが、ちょっと式を変換してみます。

=a+b+c+d

=(10-9)a+b+(10-9)c+d

=10a-9a+b+10c-9c+d

=10a+b+10c+d-9a-9c

=3p+3q-9a-9c   ←10a+b=3p、10c+d=3q だから

=(30-27)p+3q-9a-9c

=30p-27p+3q-9a-9c

=3(10p+q)-27p-9a-9c

=3・3x-27p-9a-9c   ←10p+q=3x だから

=9x-27p-9a-9c

=9(x-3p-a-c)

となって、a+b+c+d は9の倍数であることがわかります。

 

「わかりやすく」には程遠いですね(^-^;)

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