９の倍数になるのはなぜ？

@yousuke_takaoka さんからの問題（もとはこちら）

えっと。好きな数を三つ。例えば３，４，５。これをそれぞれ３倍します。９，１２，１５。このなかの二桁の数を一桁にします。９，１，２，１，５。冒頭と同じようにそれぞれ３倍します。２７，３，６，３，１５。またこれを一桁にします。２，７，３，６，３，１，５。この七つの数字のうち一個隠します。仮に最初の２を隠します。のこりの六つの数字を足します。7+3+6+3+1+5=25。出た答えの25より大きい9の倍数で最も小さな数を　んと　この場合はたぶん27です。この27から先ほどの六つの数字を足した数25を引くと２です。隠した数字を観なくても当てることができるという数学でした。

２以外を隠した場合もやってみます。真ん中の６を隠します。 2+7+3+3+1+5=21。 21より大きい9の倍数で最も小さな数は27です。 27から21を引くと６なのでこれも隠れた数を当てることができます。

これが、どうしてこうなるのか？というものです。

　

整理しながら、順番に書いてみましょう。

例を用いて書くと、

｛３、４、５｝　

　　↓　それぞれを３倍する

｛９、１２、１５｝

　　↓　２桁の数を１桁ずつにわける

｛９、１、２、１、５｝

　　↓　それぞれを３倍する

｛２７、３、６、３、１５｝

　　↓　２桁の数を１桁ずつにわける

｛２、７、３、６、３、１、５｝　

　

ここで出てきた数字をすべて足すと９の倍数となる、というのが問題の内容です。

２＋７＋３＋６＋３＋１＋５＝２７（＝９×３）

　

複雑になるので、１つの数字で考えてみましょう。

　

ある数字を x とします。

（xは１～９の自然数とします。実は自然数ならなんでもいいのですが、３倍したとき３桁以上になるとごちゃごちゃするので、、、）

まずは３倍するので、3x となります。

で、２桁だったら１桁ずつの数字に分けます。

わからないので、適当に 「 3x ⇒ p と q 」に分けましょう。

つまり　3x=10p+q です。

　

そして今度は、p、q をさらに３倍します。

すると、3p、3q が出てきます。

これもどんな数字になるかわかりませんので、適当に「 3p=10a+b 」「3q=10c+d 」とします。

　

では、a+b+c+d が９の倍数になるかどうか、ですが、ちょっと式を変換してみます。

=a+b+c+d

=(10-9)a+b+(10-9)c+d

=10a-9a+b+10c-9c+d

=10a+b+10c+d-9a-9c

=3p+3q-9a-9c　　　←10a+b=3p、10c+d=3q だから

=(30-27)p+3q-9a-9c

=30p-27p+3q-9a-9c

=3(10p+q)-27p-9a-9c

=3・3x-27p-9a-9c　　　←10p+q=3x だから

=9x-27p-9a-9c

=9(x-3p-a-c)

となって、a+b+c+d は９の倍数であることがわかります。

　

「わかりやすく」には程遠いですね(^-^;)