分割数と分断数

ここ数回、自分で勝手に作った分断数について考えてきました。これから話を戻して、「分割数」について考えてみたいと思います。

分割数Pnの一般項は「とんでもない式」（『数学ガール』より）で、私が考えたところでこのような一般化はできないと思いますが、まあ、考えることは自由ということで試行錯誤してみたいと思います。

まずは、分割数と分断数の関係から考えられないか、を見ていきます。

（「まずは」と書きましたが、次があるかどうかは未定です。）

勝手に作った分断数と二項定理の関係

現在考えている問題は、以下のようなものです。

ある自然数 n を自然数の和で表わしていきたい。例えば、「5」ならば、

5=5
5=4+1
5=3+2
5=2+3
5=1+4
5=3+1+1
5=2+2+1
5=2+1+2
5=1+3+1
5=1+2+2
5=1+1+3
5=2+1+1+1
5=1+2+1+1
5=1+1+2+1
5=1+1+1+2
5=1+1+1+1+1

の16通りある。同じ自然数を何回使ってもいいし、順番が違っていてもいい。
このときの16を5の分断数といい、Q5=16と書く。

このときの n の分断数 Qnを求めよ。

「分断数」というのは、「分割数」に対して、私が勝手に名付けた数です。

そして、前回記事にて、Qnについて以下の式を立てました。

Qn = n-1Ｃ0 + n-1Ｃ1 + n-1Ｃ2 + … + n-1Ｃn-1

今回は、この式の展開と、二項定理についてです。

勝手に考えた分断数について

前回記事で、勝手に「分断数」なるものを考えました（「分割数」参照）

この分断数について考えてみたいと思います。

分割とは、（正の）整数を自然数（正の整数）の和で表したものです。同じ自然数を重ねて使ってもいいですが、並べる順番が違っているものは同じ分割と見なされるます。

これに対して、勝手に名付けた「分断」は、（正の）整数を自然数（正の整数）の和で表したもので、同じ自然数を重ねて使ってもいいし、並べる順番が違っていれば異なる分断とします。

5の分割数P5と分断数Q5をそれぞれ具体的にみると、

分割数P5=7
5=5
5=4+1
5=3+2
5=3+1+1
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

分断数Q5=16
5=5
5=4+1
5=3+2
5=2+3
5=1+4
5=3+1+1
5=2+2+1
5=2+1+2
5=1+3+1
5=1+2+2
5=1+1+3
5=2+1+1+1
5=1+2+1+1
5=1+1+2+1
5=1+1+1+2
5=1+1+1+1+1

となります。

この分断数の一般項Qnを求めてみようという試みです。

何度も書きますが、「分断数」というのは私が勝手に作った用語です。ひょっとしたら、数学で適切な用語があるのかもしれませんが、私は知らないので、とりあえず分断数で進めていきます。