引き続き、問題1-3より

引き続き、エミール・アルティン『ガロア理論入門』問題1-3についてです。

問題1-3　p を素数とし、

Z_p = {0, 1, 2, …, p-1}

とする。a∈Z_p、b∈Z_p のとき、a⊕b、a○b をそれぞれ a + b、ab を p で割ったときの余り、と定める。すると集合 Z_p は演算⊕、○のもとで可換体であることを示せ。

前回、集合 Z_p について、

• 加法（＋）・乗法（✕）に関して閉じておらず、逆元も存在しないことから体ではないこと
• 0以外の要素について、pと互いに素であり、pで割った余りは全て異なること

を書きました。

問題を解くにあたり、まずは実際に、a + b と ab の演算表を作ってみました（図では a + b の演算表を＋、ab の演算表を✕としています）。

たとえば a + b は、a = b = p-1 のとき最大になり、a + b = 2p-2 です。これを p で割ったときの余り、つまり a⊕b は p-2 になります（余りなので 0≦ a⊕b ＜ p）。このようにして、a⊕b、a○b の演算表も作成しました。3○3 などに具体的な数値を入れていますが、p の値によっては p より大きくなる可能性があります。その際はその値から p を引けば余りになります。

まず演算⊕に関して、余りの定義より 0≦ a⊕b ＜ p であるため、閉じていて、単位元 0 が存在します。ここには書きませんが、結合法則、交換法則も満たします。どの行にも単位元である 0 が現れるため、逆元も存在します。よって演算⊕に関してアーベル群であるといえます。

演算○に関しても、閉じていて、単位元 1 が存在し、結合法則を満たします。また、0 以外の要素で逆元も存在します（前回の解答参照）。そして交換法則も満たします。

演算⊕と○に関する分配法則についても満たしており、集合 Z_p は可換体であるといえます。

きちんとした証明ではないかもしれませんが、この問題はこれで。


問題文を読んだときには結びついていなかったのですが、このあたりの話が結城浩『数学ガール／フェルマーの最終定理』に載っていました。時計巡回の話から mod の話、群、環、体についての話と続きます。そこでの話と、この問題で考えていた集合 Z_p や、演算⊕、○についての備考として、

• Z/pZ 剰余環、そして、p を素数として剰余環 Z/pZ を体と見なすとき有限体 F_p と呼ぶ。
• a⊕b = (a + b) mod p、a○b = ab mod p と定義できる（と思う）。

ということも自分用に記しておきたいと思います。

一次不定方程式の整数解（問題1-3より）

あらためて、エミール・アルティン『ガロア理論入門』問題1-3についてです。

問題1-3　p を素数とし、

Z_p = {0, 1, 2, …, p-1}

とする。a∈Z_p、b∈Z_p のとき、a⊕b、a○b をそれぞれ a + b、ab を p で割ったときの余り、と定める。すると集合 Z_p は演算⊕、○のもとで可換体であることを示せ。

先に、本にある解答を載せておきます。

体の条件のうちの大部分は簡単に示せるので省略する。a ≠ 0 のとき a○b = 1 となる b の存在を示す。a は 1, 2, …, p-1 のどれかであるから、p と互いに素である。よって ax + py = 1 となるような整数 x, y が存在する。このとき x = pq + r (0≦r＜p) のような q, r をとると、

apq + ar + py = 1　　∴ar = p (- aq - y) + 1

よって ar を p で割った余りは 1 であり、r∈Z_p であるから a○r = 1。この r を b にとればよい。

大部分が省略されています……。

ひとまず解答にある内容を確認すると、演算○についての逆元があるかどうかをチェックしています。

「よって ax + py = 1 となるような整数 x, y が存在する」という部分がわからなかったので調べたのですが、a と p が互いに素であれば、ax + py = 1 となるような整数 x, y が存在するというのは高校範囲の数学で勉強しているようです……。

高校数学の美しい物語「一次不定方程式ax+by=cの整数解」に、「 ax+by=1 が整数解を持つ ⟺ a と b が互いに素」の証明が載っているのですが、ここでやっている証明、いま取り組んでいる問題1-3と絡んでいるようです。特に「a と b が互いに素」ならば「 ax+by=1 が整数解を持つ」という証明の方が。

「a と b が互いに素 ⇒ ax+by=1 が整数解を持つ」の証明

a と b が互いに素なとき a, 2a, 3a, ⋯, (b−1)a を b で割った余りは全て異なる（※）ので，余りが1となるようなものが存在する。
それを ma とおき，b で割った商を n とおくと，

ma = bn + 1

つまり，am − bn = 1 となり(m, −n) は整数解になっている。
※の証明(背理法)
ia と ja ( i ＞ j ) を b で割った余りが同じだと仮定すると，(i − j)a は b の倍数となるはずだが，1≦ i − j ＜ b かつ a と b は互いに素なのでこれは矛盾。

問題1-3での集合 Z_p の要素は、0 と p-1 以下の自然数で、pは素数ですので、 Z_p の 0 以外の要素と p は互いに素の関係にあります。先の証明の内容「a と b が互いに素なとき a, 2a, 3a, ⋯, (b−1)a を b で割った余りは全て異なる」で、a を 1、b を p とすると、Z_p の 0 以外の要素 1, 2, ……, p-1 をpで割った余りは全て異なるということになります（p よりも小さい自然数を p で割るので、そのときの商は 0 で、割られる数そのものがそのまま余りとなります）。

さて、集合 Z_p についてですが、この集合は演算＋（加算）、演算✕（乗算）に関して体ではありません。Z_p は、0 と p-1以下の自然数（正の整数）ですので、演算に関する逆元が存在しません。Z_p の Z から整数環の類推も働きます。

似たような話が、結城浩『数学ガール／フェルマーの最終定理』に載っています。整数環・剰余環・有限体の話です。

長くなりそうなので、今回はここまで。

有理数体

体の具体例としては、有理数体がイメージしやすいかと思っています。有理数体とは、有理数全体の集合です。有理数全体の集合は、体の定義に当てはまるので有理数体といいます。

体の定義をあらためて確認しておきます。以下の定義を含め引用部分は、結城浩『数学ガール／フェルマーの最終定理』からの引用です。

体の定義（体の公理）
以下の公理を満たす集合を体と呼ぶ。

• 演算＋（加法）に関して――
• 閉じている
• 単位元が存在する（0と呼ぶ）
• すべての要素について結合法則が成り立つ
• すべての要素について交換法則が成り立つ
• すべての要素について逆元が存在する
• 演算×（乗法）に関して――
• 閉じている
• 単位元が存在する（1と呼ぶ）
• すべての要素について結合法則が成り立つ
• すべての要素について交換法則が成り立つ
• 0以外のすべての要素について逆元が存在する
• 演算＋と×に関して――
• すべての要素について分配法則が成り立つ

有理数全体の集合は、この体の定義を満たしていることを確認しましょう。

演算＋（加法）・演算×（乗法）に関して閉じている
「閉じている」というのは、次のようなことをいいます。

演算の定義（演算に関して閉じている）
集合Ｇが演算★に関して閉じているとは、集合Ｇの任意の要素a, bに関して、以下が成り立つこと。

a★b∈Ｇ

有理数全体の集合における加法・乗法についていうと、有理数同士で足し算や掛け算をすると、その計算結果（演算の結果）は有理数となり、有理数全体の集合の要素となります。どのような有理数を足し算しても、掛け算しても、やはり有理数です。

単位元が存在する
集合の要素のことを元といいます。単位元とは以下のものを指します。

単位元の定義（単位元eの公理）
集合Ｇの任意の要素aに対して、以下の式を満たす集合Ｇの要素eを、演算★における単位元と呼ぶ。

a★e＝e★a＝a

有理数体では、演算＋（加法）における単位元は0になります。任意の有理数に0を足しても、逆に、0に任意の有理数を足しても、演算結果はその任意の有理数のままです。0は有理数の集合の要素ですので、有理数全体の集合の中に、加法における単位元0が存在するといえます。

乗法における単位元は1となります。任意の有理数に1を掛けても、1に任意の有理数を掛けても、演算結果はその任意の有理数のまま。乗法については、1という単位元が存在します。

結合法則が成り立つ
結合法則は、演算の順序を変えてもいいという法則です。

結合法則

（a★b）★c＝a★（b★c）

加法や乗法の記号を使って書くと、（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）、（a×b）×c＝a×（b×c）です。有理数での加法、乗法では結合法則が満たされています。

交換法則が成り立つ
交換法則は、演算の右と左を入れ換えてもいいという法則。

交換法則

a★b＝b★a

加法ではa＋b＝b＋a、乗法ではa×b＝b×aです。足し算や掛け算に慣れていると、足し算、掛け算では当たり前のことのように思いますが、算数の計算では「このようにしましょう」と決めて（定義して）計算しています。有理数での足し算や掛け算でも交換法則を満たしています。

『数学ガール／フェルマーの最終定理』では、加法・乗法の両方の演算についての交換法則を定義に含めていますが、『ガロア理論入門』では、乗法に関する交換法則は、一般の体の定義には含めていません。『ガロア理論入門』では、乗法における交換法則（換えることができるという意味で、可換性ともいいます）を満たす体のことを可換体と呼んでいます。

逆元が存在する
逆元とは次のことです。

逆元の定義（逆元の公理）
aを集合Ｇの要素とし、eを単位元とする。aに対して、以下の式を満たすb∈Ｇを、演算★に関するaの逆元と呼ぶ。

a★b＝b★a＝e

有理数でいえば、たとえば2について、演算＋に関する2の逆元は-2です。2＋(-2)＝(-2)＋2＝0のように、足して0（加法における単位元）になるもの。演算×に関しては、2の逆元は1/2です。2×(1/2)＝(1/2)×2＝1で、乗法における単位元1となる逆元が存在します。ただし、乗法に関しては、0以外の要素という条件がついています。0にどのような有理数を掛けても1となることはありません。

演算＋と×に関して分配法則が成り立つ
分配法則は以下のようなものです。

分配法則

(a＋b)×c＝(a×c)＋(b×c)

２つの演算を結びつけている法則です。数学の授業での式の展開を思い出します。もちろん、有理数の演算＋と×に関しても分配法則は成り立っています。

以上のように、有理数全体の集合は、体の定義を満たしているので、有理数体と呼ぶことができます。ちなみに、実数全体の集合や複素数全体の集合も体となります。

しかし、整数全体の集合は体とはなりません。整数全体の集合では、乗法に関する逆元が存在するとは限らないためです。有理数では、乗法に関して、たとえば2の逆元は1/2でした。1/2は有理数ですので有理数の集合の要素です。しかし整数の集合に1/2は存在しません。そのため体の定義からは外れています。整数全体の集合のように、体の定義から「乗法に関して0以外のすべての要素について逆元が存在する」という公理を外した集合には環という名前がついています（整数全体の集合は、整数環と呼ばれます）。