【定理１】未知数の個数が方程式の個数をこえるとき、同次線形連立方程式は非自明な解をもつ

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第１章第３節は、同次線形連立方程式についてである。同次線形連立方程式の説明に次いで、定理１として次の定理とその証明が載っていた。

定理１
未知数の個数n が方程式の個数m をこえるとき、同次線形連立方程式は非自明な解をもつ。

連立方程式を習ったときだと思うが、未知数が２つ（たとえばx, y）あるのに、方程式が１つだったら、x, y は求められない（不定となる）ということを聞いた。そのときに証明があったのかどうかは覚えていない。ただ、そうなんだ、というくらいにしか頭に残っていない。

ここで述べられている定理は、その（同次線形連立方程式での）一般化の証明である。

a₁₁x₁＋a₁₂x₂＋…＋a_1nx_n＝0
a₂₁x₁＋a₂₂x₂＋…＋a_2nx_n＝0
　…………
a_m1x₁＋a_m2x₂＋…＋a_mnx_n＝0

その証明をそのまま書くとただの丸写しになるので、概略だけを残しておこう。

証明には数学的帰納法が用いられていた。

数学的帰納法は簡単に書くと、次のような証明の方法である。自然数n について、証明したい命題を P(n) として、

1. P(1) が正しいことを証明する
2. P(k) が正しいと仮定すれば、P(k+1) も正しくなることを証明する

というやり方である。よく「ドミノ倒し」のような証明方法といわれている。

定理１の証明では、まず「n＞0個の未知数に対して方程式が１つもないとき」に非自明な解が存在することを証明し、次に k＜m として「k個より多い未知数をもち、k個の式からなる任意の同次線形連立方程式が非自明な解をもつ」と仮定して進めていた。

式a_i1x₁＋a_i2x₂＋…＋a_inx_n を L_i, i＝1, 2, …, m とすると、与えられた連立方程式は以下のように書ける。

L₁＝L₂＝…＝L_m＝0

もしすべての i, j に対して a_ij＝0 であれば、x₁, x₂, …, x_n の任意の値が解になる（非自明な解が存在する）。

a_ij が全部は 0 でないときは、a₁₁≠0 と仮定できる（方程式の順序や未知数の番号を変えたとしても、非自明な解が存在するか否かに影響しないから）。

与えられた連立方程式に非自明な解が存在するための条件は、次の連立方程式が非自明な解をもつことである。

L₁＝0
L₂－a₂₁a₁₁^-1L₁＝0
　…………
L_m－a_m1a₁₁^-1L₁＝0

ちょっと添字が多くて見にくいかもしれないが、たとえば上の２番目の方程式は、L₁＝0 の両辺に a₂₁/a₁₁ を掛けたものを、L₂＝0 から引いたものである。連立方程式を解くときに式に①、②と番号をつけて、「①－②✕2 より」としているようなもので、x₁ の係数をそろえるために a₂₁/a₁₁ を掛けている（ここでは a₁₁≠0 である）。

この2番目以下の式を m－1個の同次線形連立方程式とみれば、帰納法の仮定より、非自明な解が存在する（ここでは、未知数 n個で、m－1個（m－1＜m）の式だから）。

同次線形連立方程式

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第１章第３節は、同次線形連立方程式についてである。

体K において mn個の要素

a_ij、　　i＝1, 2, …, m、　j＝1, 2, …, n

が与えられたとき、次の連立方程式の K における解x_iを考える。

a₁₁x₁＋a₁₂x₂＋…＋a_1nx_n＝0
a₂₁x₁＋a₂₂x₂＋…＋a_2nx_n＝0
…
a_m1x₁＋a_m2x₂＋…＋a_mnx_n＝0

このように右辺が 0 の連立方程式を同次線形連立方程式という。x₁＝0, …, x_n＝0 は解であり、これを自明な解といい、x₁, x₂, …, x_n の中に 0 でないものが存在するとき、この解を非自明な解という。

文字が多い……。が、怖気づいてはいけない（と、自分に言い聞かせる）。

同次線形連立方程式という言葉は、この本で初めて見た。学校の授業では学んでいない（と思う）。同次線形連立方程式の「同次」とは、未知数の次数が同じという意味かと思ったが、のちに「非同次線形連立方程式」というのが出てきて、そのときの未知数の次数も同じであったので、違うようだ。同次線形連立方程式と非同次線形連立方程式の違いは、上にも書かれている通り、右辺が 0 であるか、0 でないかの違いだった。

「同次」の意味はちょっと飛ばして、「線形」は、線形代数や線形空間の線形であろう。非常にざっくりとしたイメージだが、線形は足し算というイメージがある。複素数を a＋bi と表現したり、ベクトルを aa＋ab で表現したりするが、このような形を線形結合と呼んだりする。

そして「連立方程式」は、方程式が連立しているもの。上の同次線形連立方程式は、一般化されているので文字が多い。それだけだ（と、自分に言い聞かせる）。

m は方程式の数、n は未知数の数を表しているといえるだろう。a_ij の添字のi は何番目の方程式か、j はその方程式の何番目の項か（どの未知数の係数か）を表している。

ともかく、このような形の連立方程式を同次線形連立方程式という。

そして、同次線形連立方程式では、x₁＝0, …, x_n＝0 は自明な解であり、x₁, x₂, …, x_n の中に 0 でないものが存在するとき、その解を非自明な解という。

いきなり一般化された形で説明されても、これまでにしっかりと数学を学んできた人にはわかるのだろうが、なかなかイメージできない。なので、わかる範囲での具体例を挙げて確認してみよう。例に挙げるのは、（たしか）中学校で習った連立方程式だ。

親しみのある連立方程式は、2つの未知数 x, y を使った、2つの方程式を並べたものだ。｛（中括弧）で２つの方程式をくくらなければならないのかもしれないが、ブログで書くのは面倒くさそうだし、上の同次線形連立方程式もくくっていないので、なしとする。適当に例を作って、

x＋2y＝0
3x＋4y＝0

の連立方程式で考えてみる。

なるほど、自明な解というのがよくわかる。(x, y)＝(0, 0)というのは、2つの方程式の右辺が 0 であることより明らかだ。だから自明な解なのか。

一方、非自明な解というのはどうか。実際にこの例の連立方程式を解くと、解は(x, y)＝(0, 0) しか存在しないので、この例では非自明な解は存在しないといえる。

では、非自明な解が存在するときはどんなときだろう。

話は飛ぶが、連立方程式の解は、それぞれの方程式を1次関数の直線と見なしたときに、2直線の交点と見ることができることを学んだとき、ちょっとした感動だった。ここで例に挙げた連立方程式は、原点(0, 0)で交わる直線と見ることができる。

そう思ってあらためて方程式を見ると、ax＋by＝0 という形は、y＝(a/b)x (ただし b≠0 のとき）と式変形できて、原点を通る直線であると見なせる。とすると、このような形の連立方程式で非自明な解があるとすれば、

x＋2y＝0
2x＋4y＝0

のような連立方程式である。

見た瞬間にわかるように、１つめの式の両辺を2倍したものが２つめの式であり、両者は同じものを指している。こういったとき解は「不定」だったか。幾何のイメージにたよってしまうが、直線上の点はすべて解になる。

同次線形連立方程式における非自明な解とは、このような解ではないか、と想像しながら、次に進んでいく。