さて、その『数学ガール』の中で、次の数式が正しいことについての説明がありました。
0.999… = 10.999…について以下のようにまとめられていました。
- 0.999…は《ある数》を表している
- 0.9、0.99、0.999 と進むと、《ある数》に限りなく近づく
- 0.9、0.99、0.999 と進んでも、《ある数》は出てこない
- 0.999…が表している《ある数》は1に等しい
イメージとしてはこんな感じです。
0.999… = 《ある数》 = 1極限の考え方ですね。
また、補足として以下のことも記されていました。
0.999… （1に等しい）無限に続く「…」の後に「9」があるかないかで、「＝（等しい）」なのか、「＜（より小さい）」なのかが違っています。
0.999…9 （1より小さい）
ここで思い出したのが、「 0 = 0.000…1 」の話です。
「0.999…9＜1」ならば、「0 = 0.000…1」ではなく、「0＜0.000…1」ではないのかな、あるいは、「0.999… = 0.999…9」ではないのかな、とちょっと思った次第です。
以下、無限小数に対しての考察です。
ちなみに、私は数学の専門家ではありませんので、表現や厳密性に欠ける場合があります。ご了承ください。
0 = 0.000…1 の話を最初どこで聞いたかは定かではありません。大学での一般教養の授業だったような気がします。
そこでは、次のような証明がなされていたように思います。
まず、分数1/9（9分の1）について、
1/9 = 0.111…両辺を9倍して、
1 = 0.999…両辺から0.999…を引いて
0.000…1 = 0という証明だったように思います。
ここでは、「1 = 0.999…」も証明されています。
ちょっと視点を変えて、数列として考えてみます。
0.999…についてのまとめの中で、0.9、0.99、0.999、…と進んでいくという表現があったからです。
0.1、0.01、0.001、…という数列を仮に数列Aとすると、数列Aは以下のような式で表現できます。（nは自然数）
数列A = (1/10)^n
0.9、0.99、0.999、…という数列を仮に数列Bとすると、数列Bは以下のような式で表現できます。（nは自然数）
数列B = 1 - (1/10)^n
ここで、数列Aの要素としては、0.000…1という数は出てきません。同様に数列Bの要素として0.999…という数は出てこない。つまり、0.999…と0.000…1は似ているのです。
一方、0.999…9は、数列Bの要素として出てきます。「…」という無限の表現が含まれていますが、有限小数に近いものです。「0.999…9 = 0.999…」とは言えないし、「0.999…9 = 1」とも言えません。
数学の言葉を借りれば、0.999… は 1 に収束する、0.000…1 は 0 に収束する、といえます。しかし、0.999…9 は収束前の数です。
0.999…9に対応した数列Aに表れる要素としての表現が上手くできないところが、当初の疑問（「0.999…9＜1」ならば、「0 = 0.000…1」ではなく、「0＜0.000…1」ではないのかな、あるいは、「0.999… = 0.999…9」ではないのか）が出てきた理由ではないかと思います。
 数学ガール ゲーデルの不完全性定理 1 (MFコミックス アライブシリーズ) (コミックス) / 茉崎... |
【追記】
0.999… = 1 について、もっとわかりやすいかな、というのを思いついたので追記。
分数1/3（3分の1）について、3分の1は小数を使って書くと、
1/3 = 0.333…と書けます。
1/3は3倍すると1になるので、上の式の両辺を3倍すると、
1 = 0.999…と書けます。
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