2012/10/24

巨視的視点と微視的視点

10枚のコインがあります。この10枚のコインを投げて、表が5枚、裏が5枚となる確率を求めなさい。ただし、どのコインも2分の1の確率で表がでるものとします。
数学(とはいっても高校で習った範囲)の分野のなかで、確率は嫌いでした…。

順列とか組み合わせとか…、考え方はわかるのですが、公式を覚えることができず、公式を導くのに時間がかかったり、すべての場合分けを考えたりなど、問題を解くのに時間がかかってしまうからです。

計算も得意な方ではないので、よく間違います。

それでも数学が嫌いではなかったのは、問題から式を作ることが好きだったからです。


好き嫌いはさておき、冒頭の確率の問題では、組み合わせ(C)を使います。

公式は、WEB検索して確認(^-^;)
nCr = n!/(r!*(n-r)!)
ブログ内で分数の表記の方法がわからないので、とりあえず上記のように書いておきます。

上記のC(Combination)の公式は、n個の中からr個を選ぶ組み合わせの数を出す公式ですので、確率を出すわけではありません。

冒頭の問題で言えば、10枚の中から(表になった)5枚を選ぶ組み合わせの総数です。

計算すると、
105
= 10!/(5!*(10-5)!)
= (10×9×8×7×…×1)/((5×4×3×2×1)×(5×4×3×2×1))
= (10×9×8×7×6)/(5×4×3×2×1)
= 252
252通りある、ということになります。

すべての場合分けの総数は2^10通り(「表」と「裏」という2つの状態になるコインが10枚ある)つまり、1024通りあるので、「表が5枚、裏が5枚」となる確率は252/1024(≒25%)となります。

もし、「全てのコインが表になる確率」ならば、1/1024(≒0.1%)です。


ここで、10枚のコインにそれぞれ名前をつけましょう。

10枚のコインを、コインA、コインB、…、コインJとして、問題を「コインA、B、C、D、Eが表になる確率は?」とすると、この答えは1/1024となります。


ひとつひとつのコインの状態を微視的に確認すると、その状態は1通りですが、10枚のコインとしてこのうちの5枚というように巨視的に確認すると確率は累乗的に上がります。


仕事上で、「全体を見ろ」とか「俯瞰的に」とか「全体最適」とか言われるのは、こういったことと関係するのかもしれません。