逆元の存在の証明

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第3節続き。

\( K \subset E \) で、体 \( K \) 上の代数的な \( E \) の要素 \( \alpha \) の最小多項式 \( f(x) \) の性質を確認し、要素 \( \theta \) のつくる \( E \) の部分集合 \( E_0 \) が体であり、\( K ( \alpha ) \) であることを示そうとしています。そのために、 まずは \( E_0 \) を模写した \( E_1 \) が体であることを示そうとしています。\( E_1 \) は体の公理のほとんどを満たしていて、最後の確認です。

　ここで、 \( E_1 \) が体であることを示すために \( E_1 \) の2つの要素 \( g( \xi ) \neq 0 \) と \( h( \xi ) \) が与えられたとき
$$
g( \xi ) X( \xi ) = h( \xi )
$$
となるような \( E_1 \) の要素
$$
X( \xi ) = x_0 + x_1 \xi + \cdots + x_{n-1} \xi ^{n-1}
$$
が存在することを示さねばならない。そのためには \( X( \xi ) \) の係数 \( x_i \) を未知数と考え、左辺にある積を計算し、次に等式 \( f( \xi ) = 0 \) を用いて \( \xi \) について \( n-1 \) よりも高い次数の項をなくすようにする。その結果は次の形となる。
$$
L_0 + L_1 \xi + \cdots + L_{n-1} \xi ^{n-1}
$$
ここで \( L_i \) は \( K \) の要素を係数とする \( x_1, x_2, \cdots, x_{n-1} \) の線形和である。

左辺にある積を計算するというのは、以下を計算するということです。
$$
\begin{eqnarray}
& & g( \xi ) X( \xi ) \\
&=& ( c_0 + c_1 \xi + \cdots + c_{n-1} \xi ^{n-1} ) ( x_0 + x_1 \xi + \cdots + x_{n-1} \xi ^{n-1} )
\end{eqnarray}
$$
さすがにすべて計算することはしませんが、計算して整理すると、定数項は \( c_0 x_0 \) 、\( \xi \) の項の係数は \( c_0 x_1 + c_1 x_0 \)、…となります。そして \( f( \xi ) = 0 \) を使って \( \xi \) について \( n-1 \) よりも高い次数の項をなくすようにすると、係数が \( x_1, x_2, \cdots, x_{n-1} \) の線形和となるような \( \xi \) の式となります。つまり、
$$
\begin{eqnarray}
& & g( \xi ) X( \xi ) \\
&=& ( c_0 + c_1 \xi + \cdots + c_{n-1} \xi ^{n-1} ) ( x_0 + x_1 \xi + \cdots + x_{n-1} \xi ^{n-1} ) \\
&=& L_0 + L_1 \xi + \cdots + L_{n-1} \xi ^{n-1}
\end{eqnarray}
$$
としたわけです。

この結果が \( h ( \xi ) \) に一致しなければならないので、\( h ( \xi ) \) の係数を \( b_i \) とすると、次のような \( n \) 個の未知数についての \( n \) 個の方程式を得る。
$$
L_0 = b_0, \quad L_1 = b_1, \quad \cdots, \quad L_{n-1} = b_{n-1}
$$

\( g( \xi ) X( \xi ) = h( \xi ) \) より、
$$
L_0 + L_1 \xi + \cdots + L_{n-1} \xi ^{n-1} = b_0 + b_1 \xi + \cdots + b_{n-1} \xi ^{n-1}
$$
として、係数を比較して得た方程式が、
$$
L_0 = b_0, \quad L_1 = b_1, \quad \cdots, \quad L_{n-1} = b_{n-1}
$$
です。

この連立方程式が解をもつためには、対応する同次連立方程式
$$
L_0 = 0, \quad L_1 = 0, \quad \cdots, \quad L_{n-1} = 0
$$
が自明解しかもたないことを示せばよい。ところがあとの連立方程式は、\( g( \xi ) X( \xi ) = 0 \) をみたす要素 \( X( \xi ) \) を問題にしたときに得られる方程式である。これは古い意味の乗法にもどって \( g( \xi ) X( \xi ) \) を考えたとき、 \( g( \xi ) X( \xi ) \) の剰余が \( 0 \) 、すなわち \( g( \xi ) X( \xi ) \) が \( f( \xi) \) で割りきれる場合である。ところが42ページの補題により、これは \( X( \xi) = 0 \) の場合のみ起こりうることである。すなわち上の同次方程式は自明解しかもち得ない。

第1章で定理5として、同次連立方程式が解をもつ必要十分条件が挙げられています。

定理5
\( m = n \) の場合の連立方程式 \( (1) \) が、任意に与えた右辺に対して解をもつための必要十分条件は、これに同伴な同次連立方程式が自明解のみをもつことである。そしてこの場合、解はただ一組である。

\( m = n \) の場合の連立方程式 \( (1) \) とは、以下の方程式で \( m = n \) の場合です。

$$
\begin{eqnarray}
a_{11} x_1 &+& a_{12} x_2 &+& \cdots &+& a_{1n} x_n &=& b_1 \\
a_{21} x_1 &+& a_{22} x_2 &+& \cdots &+& a_{2n} x_n &=& b_2 \\
\vdots && && && \vdots && \vdots \\
a_{m1} x_1 &+& a_{m2} x_2 &+& \cdots &+& a_{mn} x_n &=& b_m
\end{eqnarray}
\tag{1}
$$

そして連立方程式 \( (1) \) に同伴な同次連立方程式は次の同次連立方程式 \( (2) \) となります。

$$
\begin{eqnarray}
a_{11} x_1 &+& a_{12} x_2 &+& \cdots &+& a_{1n} x_n &=& 0 \\
a_{21} x_1 &+& a_{22} x_2 &+& \cdots &+& a_{2n} x_n &=& 0 \\
\vdots && && && \vdots && \vdots \\
a_{m1} x_1 &+& a_{m2} x_2 &+& \cdots &+& a_{mn} x_n &=& 0
\end{eqnarray}
\tag{2}
$$

また、42ページの補題は以下です。

補題
\( f(x) \) を \( K \) 内の次数 \( n \) の既約多項式とするとき、0と異なる2つの \( K \) 内の多項式でそれらの次数が \( n \) より小、しかもそれらの積は \( f(x) \) で割りきれるようなものは存在し得ない。

この補題から、\( g( \xi ) X( \xi ) = 0 \) となるのは \( X( \xi) = 0 \) の場合のみ起こりうることであり（ \( g( \xi ) \) と \( X( \xi ) \) の次数は \( n-1 \) で、\( f ( \xi ) \) より小。また \( g( \xi ) \neq 0 \) ）、同次連立方程式
$$
L_0 = 0, \quad L_1 = 0, \quad \cdots, \quad L_{n-1} = 0
$$
は自明解しかもたない。したがって、定理5より
$$
L_0 = b_0, \quad L_1 = b_1, \quad \cdots, \quad L_{n-1} = b_{n-1}
$$
は解をもつ。 未知数 \( x_i \) が解をもつということは、 \( x_i \) は \( X( \xi ) \) の係数ですので、\( g( \xi ) X( \xi ) = h( \xi ) \) となるような \( E_1 \) の要素 \( X( \xi ) = x_0 + x_1 \xi + \cdots + x_{n-1} \xi ^{n-1} \) が存在する、となります。

こうして、\( E_1 \) が体であることが示されました。

逆元の存在の確認

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第3節の続きです。

\( K \subset E \) で、体 \( K \) 上の代数的な \( E \) の要素 \( \alpha \) の最小多項式 \( f(x) \) の性質を確認し、要素 \( \theta \) のつくる \( E \) の部分集合 \( E_0 \) が体であり、\( K ( \alpha ) \) であることを示そうとしています。そのために、 まずは \( E_0 \) を模写した \( E_1 \) が体であることを示そうとしています。 \( E_1 \) は、体の公理のほとんどが満たされていて、残るは、乗法に関して、0以外のすべての要素について逆元が存在することを示すことです。

　ここで、 \( E_1 \) が体であることを示すために \( E_1 \) の2つの要素 \( g( \xi ) \neq 0 \) と \( h( \xi ) \) が与えられたとき
$$
g( \xi ) X( \xi ) = h( \xi )
$$
となるような \( E_1 \) の要素
$$
X( \xi ) = x_0 + x_1 \xi + \cdots + x_{n-1} \xi ^{n-1}
$$
が存在することを示さねばならない。

逆元とは、次のような要素です。

逆元の定義（逆元の公理）
\( a \) を集合 \( G \) の要素とし、\( e \) を単位元とする。\( a \) に対して、以下の式を満たす \(b \in G \) を、演算★に関する \( a \) の逆元と呼ぶ。
$$
a★b = b★a = e
$$

\( g( \xi ) X( \xi ) = h( \xi ) \) となるような \( X( \xi ) \) が存在することを示すことが、なぜ、乗法に関して0以外のすべての要素について逆元が存在することを示すことになるのか。

きちんとした証明になっているかどうかは少し怪しいですが、現時点での僕なりの理解を書いておきます。

もし \( X( \xi ) \) が存在するとすれば、\( X( \xi ) = g^{-1}( \xi ) h( \xi ) \) となるはずです。
$$
g( \xi ) X( \xi ) =g( \xi ) g^{-1}( \xi ) h( \xi ) = h( \xi )
$$
つまり、\( g( \xi ) \) の逆元である \( g^{-1}( \xi ) \) が存在すれば、\( X( \xi ) \) も存在することになります。もし \( g^{-1}( \xi ) \) が存在しなければ、\( X( \xi ) \) も存在しません（この部分の証明が必要な気がします）。なので、\( g( \xi ) X( \xi ) = h( \xi ) \) となるような \( X( \xi ) \) が存在することを示すことは、\( g^{-1}( \xi ) \) が存在することを示すことと同値であるといえます（いえると思っています）。

たとえ話ですが、次のようなことを考えてみましょう。方程式 \( 2x = 3 \) を満たす整数 \( x \) は存在しません。有理数であれば \( x = \frac{3}{2} \) と答えることができます。 \( \frac{3}{2} \) が存在すれば、\( \frac{1}{2} \) も存在するといえます（こちらのたとえ話でもちょっと曖昧です）。

整数全体の集合は体ではありません。有理数全体の集合は体です。整数の場合、除法について閉じてはいませんが、有理数の場合は除法でも閉じています。体は四則演算ができる数の集合といってもいいものです。 \( g( \xi ) X( \xi ) = h( \xi ) \) となるような \( E_1 \) の要素 \( X( \xi ) = x_0 + x_1 \xi + \cdots + x_{n-1} \xi ^{n-1} \) が存在することを示すことは、\( E_1 \) 内で除法ができることを示すことでもあります。

逆元の存在についてちょっと曖昧にしたままですが、次に進みます。

体の公理の確認

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第3節の続きです。

\( K \subset E \) で、体 \( K \) 上の代数的な \( E \) の要素 \( \alpha \) の最小多項式 \( f(x) \) の性質を確認し、いまは次のような要素 \( \theta \) のつくる \( E \) の部分集合 \( E_0 \) が体であり、\( K ( \alpha ) \) であることを示そうとしています。そのために、 まずは \( E_0 \) を模写した \( E_1 \) が体であることを示そうとしています。 \( E_1 \) に体の乗法として新しい乗法を定義し、\( E_1 \) が体の定義に当てはまるかどうかの確認をしているところです。

　ここでわれわれは古い意味の乗法を完全にやめることにして、新しい乗法だけを扱うことにする。また、記号をかえて新しい乗法を点（または並べておくだけ）を用いて表わすことにする。
このような意味で演算
$$
c_0 + c_1 \xi + \cdots + c_{n-1} \xi ^{n-1}
$$
の結果を考えてみると、次数が \( n \) より小さいので、演算の結果ははじめからこの形に表わされている \( E_1 \) の要素に一致する。また
$$
\xi ^n = -a_{n-1} \xi ^{n-1} - a_{n-2} \xi ^{n-2} - \cdots - a_0
$$
であるから、移項して \( E_1 \) 内で \( f( \xi ) = 0 \) のなりたつことがわかる。
以上のようにして、集合 \( E_1 \) をつくり、次にその中で加法と乗法をつくり、この演算について、体の公理がほとんど満たされていることがわかった。さらに \( E_1 \) は \( K \) を部分体に含み、方程式 \( f( \xi ) = 0 \) を満たす要素を含んでいる。

新しい乗法を定義した上で、体の公理（定義）に当てはまるかどうかを確認し、そのほとんどの確認ができました。残るは、乗法に関して、0以外のすべての要素について逆元が存在することを示すことです。次のことはそのことを表わしていると思われます。

　ここで、 \( E_1 \) が体であることを示すために \( E_1 \) の2つの要素 \( g( \xi ) \neq 0 \) と \( h( \xi ) \) が与えられたとき
$$
g( \xi ) X( \xi ) = h( \xi )
$$
となるような \( E_1 \) の要素
$$
X( \xi ) = x_0 + x_1 \xi + \cdots + x_{n-1} \xi ^{n-1}
$$
が存在することを示さねばならない。

逆元とは、次のような要素です。

逆元の定義（逆元の公理）
\( a \) を集合 \( G \) の要素とし、\( e \) を単位元とする。\( a \) に対して、以下の式を満たす \(b \in G \) を、演算★に関する \( a \) の逆元と呼ぶ。
$$
a★b = b★a = e
$$

\( g( \xi ) X( \xi ) = h( \xi ) \) となるような \( X( \xi ) \) が存在することを示すことが、なぜ、乗法に関して0以外のすべての要素について逆元が存在することを示すことになるのか。次はそこを考えてみます。