
習作99(5:51)
よくあるコード進行。もう少し発展させることができるかもしれない。
K∈B∈E のような3つの体 K,B,E を考えたとき、B を中間体という。p(x) を K 内の多項式で、拡大体 E においては1次因子だけに分解するものとする。いまその1次式分解をK 内の多項式 p(x) のすべての根を付加(添加)した体のことを p(x) の( K 上の)分解体といいます。 p(x) の根を α1,α1,⋯,αs とすると、これらの根を付加した体 K(α1,α1,⋯,αs) が p(x) の分解体です。
p(x)=a(x−α1)(x−α2)⋯(x−αs)
のように表わす。ここで a は x の最高次の係数であり、K の要素である。
このような分解が E のある部分体ですでに可能ということは、その中間体が α1,α1,⋯,αs を含むということである。よってこのような分解が可能な最小の中間体は体 K(α1,α1,⋯,αs) である。この体を p(x) の K 上の分解体、または単に p(x) の分解体という。
分解体の存在は次のようにしてわかる。まず定理7によって、体 K を拡大してその体の中で p(x)=(x−α1)p1(x) と分解できるようにする。この操作を次に p1(x) について行なう。これをつづけていけば、p(x) が一次因子に分解されるような K の1つの拡大体に到達することができるわけである。すなわち:
定理9. 体 K 内の任意の多項式 p(x) に対して、p(x) の K 上の分解体 E が存在する。