
習作99(5:51)
よくあるコード進行。もう少し発展させることができるかもしれない。
K∈B∈EK∈B∈E のような3つの体 K,B,EK,B,E を考えたとき、BB を中間体という。p(x)p(x) を KK 内の多項式で、拡大体 EE においては1次因子だけに分解するものとする。いまその1次式分解をKK 内の多項式 p(x)p(x) のすべての根を付加(添加)した体のことを p(x)p(x) の( KK 上の)分解体といいます。 p(x)p(x) の根を α1,α1,⋯,αsα1,α1,⋯,αs とすると、これらの根を付加した体 K(α1,α1,⋯,αs)K(α1,α1,⋯,αs) が p(x) の分解体です。
p(x)=a(x−α1)(x−α2)⋯(x−αs)p(x)=a(x−α1)(x−α2)⋯(x−αs)
のように表わす。ここで aa は xx の最高次の係数であり、KK の要素である。
このような分解が EE のある部分体ですでに可能ということは、その中間体が α1,α1,⋯,αsα1,α1,⋯,αs を含むということである。よってこのような分解が可能な最小の中間体は体 K(α1,α1,⋯,αs)K(α1,α1,⋯,αs) である。この体を p(x)p(x) の KK 上の分解体、または単に p(x)p(x) の分解体という。
分解体の存在は次のようにしてわかる。まず定理7によって、体 KK を拡大してその体の中で p(x)=(x−α1)p1(x)p(x)=(x−α1)p1(x) と分解できるようにする。この操作を次に p1(x)p1(x) について行なう。これをつづけていけば、p(x)p(x) が一次因子に分解されるような KK の1つの拡大体に到達することができるわけである。すなわち:
定理9. 体 KK 内の任意の多項式 p(x)p(x) に対して、p(x)p(x) の KK 上の分解体 EE が存在する。