分解体

エミール・アルティン『ガロア理論入門』第2章第4節は、「分解体」についての内容です。

　$K \in B \in E$ のような3つの体 $K, B, E$ を考えたとき、$B$ を中間体という。$p(x)$ を $K$ 内の多項式で、拡大体 $E$ においては1次因子だけに分解するものとする。いまその1次式分解を
$$p(x) = a ( x- \alpha_1 ) ( x- \alpha_2 ) \cdots ( x- \alpha_s )$$
のように表わす。ここで $a$ は $x$ の最高次の係数であり、$K$ の要素である。

このような分解が $E$ のある部分体ですでに可能ということは、その中間体が $\alpha_1 , \alpha_1 , \cdots , \alpha_s$ を含むということである。よってこのような分解が可能な最小の中間体は体 $K ( \alpha_1 , \alpha_1 , \cdots , \alpha_s )$ である。この体を $p(x)$ の $K$ 上の分解体、または単に $p(x)$ の分解体という。

分解体の存在は次のようにしてわかる。まず定理7によって、体 $K$ を拡大してその体の中で $p(x) = ( x- \alpha_1 ) p_1(x)$ と分解できるようにする。この操作を次に $p_1 (x)$ について行なう。これをつづけていけば、$p(x)$ が一次因子に分解されるような $K$ の1つの拡大体に到達することができるわけである。すなわち：

定理9. 体 $K$ 内の任意の多項式 $p(x)$ に対して、$p(x)$ の $K$ 上の分解体 $E$ が存在する。

$K$ 内の多項式 $p(x)$ のすべての根を付加（添加）した体のことを $p(x)$ の（ $K$ 上の）分解体といいます。 $p(x)$ の根を $\alpha_1 , \alpha_1 , \cdots , \alpha_s$ とすると、これらの根を付加した体 $K ( \alpha_1 , \alpha_1 , \cdots , \alpha_s )$ が $p(x)$ の分解体です。

引用文中にある「定理7」とは、クロネッカーの定理のことです。

定理7.（クロネッカー）
$f(x)$ を体 $K$ における定数でない多項式とするとき、$K$ の拡大体 $E$ で、$f(x)$ がその中に根をもつものが存在する。

体 $K ( \alpha_1 , \alpha_1 , \cdots , \alpha_s )$ 上で、$p(x)$ は1次因子に分解されます。$p(x)$ を1次因子に分解できる最小の体であることから、最小分解体とも呼ばれます。

分解体
体 $K$ 内の任意の多項式 $p(x)$ に対して、$p(x)$ の $K$ 上の分解体 $E$ が存在する。