不動点パズル26：二重不動点原理の導出（３）

（前回はこちら）

問28　任意の記号列 z₁ と z₂ に対して、y₁ は z₁y₂ をもたらし、y₂ は z₂y₁ をもたらすような記号列 y₁、y₂ が存在することを示せ。たとえば、y₁ が Ay₂ をもたらし、y₂ は By₁ をもたらすような記号列 y₁、y₂ は何か。


（解答）
まずは、y₁ が Ay₂ をもたらし、y₂ は By₁ をもたらすような記号列 y₁、y₂ を求めることからはじめていく。

y₁ が Ay₂ をもたらし、y₂ は By₁ をもたらすので、これまでと同様に式で表してみると、

y₁ → Ay₂　・・・・・①
y₂ → By₁　・・・・・②

となる。

ところで、以前問題27において、規則Q と C だけを使い、それぞれが互いにもう一方をもたらすような二つの相異なる記号列 QCQQC と CQQC を見つけた（参照「不動点パズル24」）。Q からはじまる記号列が C からはじまる記号列をもたらし、C からはじまる記号列が Q からはじまる記号列をもたらすようなものを探す際、CQzC が zCQzC をもたらすことを利用して解答を求めた。今回も同じようにできないかを考えてみる。

求める記号列の片方を Q からはじまる記号列となるようにしたい。ここでは y₁ を Q からはじまる記号列とする。y₁ = Qz₁ とすると、①、②は以下のようになる。

Qz₁ → Ay₂　・・・・・①'
y₂ → BQz₁　・・・・・②'

①'において、規則Q より、z₁ = Ay₂ となる。これをあらためて①'、②'にあてはめると、

QAy₂ → Ay₂　・・・・・①"
y₂ → BQAy₂　・・・・・②"

となる。

②"において、CQzC が zCQzC をもたらすことを利用することができる。すなわち、z を BQA とすると、CQBQAC は BQACQBQAC をもたらすので、y₂ は、CQBQAC と求めることができる。このとき、y₁ は、

y₁ = Qz₁ = QAy₂ = QACQBQAC

つまり、y₁ が Ay₂ をもたらし、y₂ は By₁ をもたらすような記号列 y₁、y₂ として、QACQBQAC と CQBQAC がある。

同様のやり方で、任意の記号列 z₁ と z₂ に対して、y₁ は z₁y₂ をもたらし、y₂ は z₂y₁ をもたらすような記号列 y₁、y₂ を求めることができる。上記の A、B を、z₂、z₁ とした記号列 Qz₂CQz₁Qz₂C と CQz₁Qz₂C が該当の記号列である。


さて、次の問題が、アーニーの二重不動点原理の証明である。

問29　アーニーの二重不動点原理を証明せよ。

（つづく）